De vier hoofdbewerkingen: betekenis, termen en relaties

Waarom dit ertoe doet

Een leerling die een vraagstuk niet kan "vertalen" naar de juiste bewerking, komt niet ver, ook al rekent hij foutloos. Daarom vragen de minimumdoelen dat leerlingen de verschillende betekenissen van elke bewerking kennen en betekenisvolle situaties kunnen omzetten naar bewerkingen 1. Daarnaast moet je als leerkracht de juiste vaktaal gebruiken: term, som, aftrektal, factor, deeltal, quotiënt.

Betekenissen van de bewerkingen

Optellen en aftrekken

De minimumdoelen onderscheiden drie situaties 1:

Vermenigvuldigen

Ook vermenigvuldigen heeft verschillende betekenissen 1:

• keerhandeling (herhaalde optelling): 6 keer een zakje met 24 knikkers;
• rooster (rechthoek): een moestuin met 4 rijen van 9 plantjes;
• vergelijking: jij hebt 3 keer zoveel strips als je vriend, die er 18 heeft;
• combinatie: 4 soorten soep en 5 broodjes geven 4 × 5 = 20 mogelijke maaltijden.

Delen

Bij delen zijn er twee situaties die tot dezelfde bewerking leiden 1,2:

Het verband: 6 : 2 = 3 kun je lezen als "6 verdelen over 2, elk 3" én als "hoeveel keer gaat 2 in 6? 3 keer" 1. De verdelingsdeling komt meestal eerst aan bod, omdat kinderen het idee "eerlijk verdelen" al kennen. De verhoudingsdeling sluit aan bij herhaald aftrekken 2.

Een deling is opgaand als er geen rest is (15 : 5 = 3) en niet-opgaand als er een rest is (17 : 5 = 3 rest 2).

Vaktermen

Bronnen: 1,3,4,5.

In 18 × 24 ("18 keer 24") is 18 de vermenigvuldiger en 24 het vermenigvuldigtal. Omdat vermenigvuldigen commutatief is, noemt men beide ook gewoon factoren 4.

Tekens

Leerlingen benoemen en gebruiken deze symbolen 1: + (plus), − (min), × of · (maal, keer), : of / of ÷ (gedeeld door), = (is gelijk aan), ≠ (is niet gelijk aan), % (procent) en haakjes ( ). In het onderwijs noteert men een deling meestal met een dubbelpunt: 90 : 6 = 15 5.

Deeltal, deler, quotiënt en rest: D = d × q + r

Bij elke deling met rest geldt 1:

$D = d \times q + r$

met D het deeltal, d de deler, q het quotiënt en r de rest. De rest is altijd kleiner dan de deler.

Delen door 0 is niet mogelijk 5. Er bestaat geen getal dat je met 0 kunt vermenigvuldigen om bijvoorbeeld 5 te krijgen.

Relaties tussen de bewerkingen

• Vermenigvuldigen is herhaald optellen: 3 × 36 = 36 + 36 + 36 1.
• Delen is herhaald aftrekken (of sprongen tellen): hoeveel keer kun je 12 van 74 aftrekken? 1
• Optellen en aftrekken zijn elkaars omgekeerde (inverse) bewerking 3: 8 + 5 = 13, dus 13 − 5 = 8 en 13 − 8 = 5.
• Vermenigvuldigen en delen zijn elkaars inverse bewerking 5: 4 × 9 = 36, dus 36 : 9 = 4 en 36 : 4 = 9.

Bij elke vermenigvuldiging horen dus twee delingen: een verdelingsdeling en een verhoudingsdeling 2. Die relaties gebruik je om te controleren (de omgekeerde bewerking) en om ontbrekende getallen te zoeken: ... × 7 = 56 los je op met 56 : 7 = 8.

Parate kennis

Het fundament van alle rekenwerk is geautomatiseerde kennis 1:

• de splitsingen tot en met 10;
• de optellingen en aftrekkingen tot en met 20;
• de maal- en deeltafels van 1 tot en met 10.

Wie de tafels onvoldoende beheerst, maakt fouten bij hoofdrekenen én bij cijferen 2. Bij het leren van de tafels zijn "kapstokproducten" (× 2, × 5, × 10) en strategieën als "één keer meer" en "één keer minder" belangrijk: 6 × 7 = 5 × 7 + 7 en 9 × 7 = 10 × 7 − 7 2.

Samengevat

• Optellen en aftrekken: oorzaak-verandering, combinatie, vergelijking.
• Vermenigvuldigen: keerhandeling, rooster, vergelijking, combinatie.
• Delen: verdelingsdeling (hoe groot is elk deel?) en verhoudingsdeling (hoeveel keer past het?); opgaand of niet-opgaand.
• Vaktermen: termen en som; aftrektal, aftrekker en verschil; factoren (vermenigvuldiger, vermenigvuldigtal) en product; deeltal, deler, quotiënt en rest.
• D = d × q + r, met de rest kleiner dan de deler. Delen door 0 kan niet.
• Optellen en aftrekken, vermenigvuldigen en delen zijn elkaars inverse; dat gebruik je om te controleren en om ontbrekende getallen te zoeken.
• Splitsingen tot 10, optellingen tot 20 en de tafels moeten paraat zijn.