Breuken

Waarom dit ertoe doet

Breuken behoren tot de moeilijkste onderwerpen van de lagere school. Een belangrijke oorzaak is dat leerlingen regels van natuurlijke getallen te ver doortrekken, bijvoorbeeld "hoe groter de teller, hoe groter de breuk" 1. Een leerkracht moet de verschillende betekenissen van een breuk dus scherp kunnen onderscheiden en verwoorden.

Teller, noemer en breukstreep

In de breuk $\frac{3}{4}$ is 3 de teller (het getal boven de streep) en 4 de noemer (het getal onder de streep); ertussen staat de breukstreep 2. De noemer zegt in hoeveel gelijke delen het geheel verdeeld is, de teller hoeveel van die delen je neemt 1.

Je leest breuken met een horizontale ($\frac{3}{4}$) of een schuine breukstreep (3/4). Leerlingen noteren zelf met een horizontale breukstreep 3.

De betekenissen van een breuk

Een breuk kan verschillende dingen betekenen 3,1:

De breuk als deling

Een breuk is een "onuitgewerkte deling": de teller is het deeltal, de noemer de deler 2. Dus 8 : 7 = $\frac{8}{7}$, en $\frac{3}{5}$ = 3 : 5 = 0,6. Die betekenis leer je in de derde graad 3.

De breuk als rationaal getal

Bij een breuk als getal is de afspraak dat het geheel de eenheid 1 is. Daardoor kun je alle breuken vergelijken, op de getallenas plaatsen en ermee rekenen 3. Tussen twee breuken ligt altijd nog een andere breuk: tussen $\frac{1}{3}$ en $\frac{1}{2}$ ligt bijvoorbeeld $\frac{5}{12}$, want $\frac{1}{3}$ = $\frac{4}{12}$ en $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{12}$.

Soorten breuken

Bronnen: 1,2.

Elk natuurlijk getal kun je schrijven als een oneigenlijke breuk: 3 = $\frac{3}{1}$ = $\frac{6}{2}$ = $\frac{9}{3}$ 3.

Herstructureren helpt om de grootte te zien: $\frac{5}{4}$ is 1 geheel en $\frac{1}{4}$; $\frac{3}{4}$ is $\frac{1}{4}$ minder dan 1 geheel 3. Een onechte breuk omzetten naar een gemengd getal maakt de waarde duidelijker: $\frac{16}{3}$ = $5\frac{1}{3}$ ligt tussen 5 en 6 1.

Gelijkwaardige breuken en vereenvoudigen

Je krijgt een gelijkwaardige breuk door teller en noemer met hetzelfde getal te vermenigvuldigen of door hetzelfde getal te delen 1,2:

$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8}$

Vereenvoudigen is teller en noemer door eenzelfde getal delen. Deel je door de grootste gemeenschappelijke deler (ggd), dan krijg je in één stap een onvereenvoudigbare breuk 1,4.

Gelijknamig maken

Gelijknamig maken betekent breuken omzetten naar gelijkwaardige breuken met dezelfde noemer. De handigste gemeenschappelijke noemer is het kleinste gemeenschappelijk veelvoud (kgv) van de noemers 1,5.

Breuken vergelijken en ordenen

De AP-cursus onderscheidt vier strategieën 1:

1. Vereenvoudigen: $\frac{4}{6}$ en $\frac{1}{3}$. Omdat $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ en $\frac{2}{3}$ > $\frac{1}{3}$, is $\frac{4}{6}$ > $\frac{1}{3}$.
2. Referentiepunten ($\frac{1}{2}$ of 1): $\frac{8}{5}$ > 1 en $\frac{4}{6}$ < 1, dus $\frac{8}{5}$ > $\frac{4}{6}$. En $\frac{3}{8}$ < $\frac{1}{2}$ < $\frac{2}{3}$.
3. Tellers en noemers vergelijken: $\frac{2}{7}$ < $\frac{4}{5}$, want de teller is kleiner en de noemer groter.
4. Gelijknamig maken: $\frac{2}{3}$ = $\frac{14}{21}$ en $\frac{4}{7}$ = $\frac{12}{21}$, dus $\frac{2}{3}$ > $\frac{4}{7}$.

Twee handige gevallen:

• Gelijke noemers: de grootste teller geeft de grootste breuk: $\frac{3}{8}$ < $\frac{5}{8}$.
• Gelijke tellers: de kleinste noemer geeft de grootste breuk, want de delen zijn groter: $\frac{1}{3}$ > $\frac{1}{5}$.

Deel, geheel en breuk

Met breuken komen drie soorten vragen voor 3:

• Geheel en deel gegeven, breuk zoeken: 6 van de 24 leerlingen zijn ziek. Dat is $\frac{6}{24}$ = $\frac{1}{4}$ van de klas.
• Geheel en breuk gegeven, deel zoeken: $\frac{3}{4}$ van 20 = (20 : 4) × 3 = 15.
• Deel en breuk gegeven, geheel zoeken: $\frac{2}{5}$ van een bedrag is 12 euro. Dan is $\frac{1}{5}$ gelijk aan 6 euro en is het geheel 5 × 6 = 30 euro. Teken hierbij een strook in vijf gelijke delen.

Samengevat

• Teller (boven), noemer (onder), breukstreep; de noemer geeft het aantal gelijke delen, de teller hoeveel je er neemt.
• Een breuk is een deel van een geheel (continu, aantal of getal), een operator, een deling, een verhouding, een getal en een kans.
• Een breuk is een deling: $\frac{3}{4}$ = 3 : 4. Een natuurlijk getal kan je als oneigenlijke breuk schrijven.
• Gelijkwaardige breuken: teller en noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigen of delen.
• Vereenvoudigen in één stap: deel door de ggd. Gelijknamig maken: gebruik het kgv van de noemers.
• Vergelijken via vereenvoudigen, referentiepunten ($\frac{1}{2}$, 1), tellers en noemers, of gelijknamig maken.
• Bij gelijke tellers is de breuk met de kleinste noemer de grootste.