Cijferen met natuurlijke getallen en kommagetallen

Waarom dit ertoe doet

Cijferen is het op papier onder elkaar uitrekenen van bewerkingen volgens vaste algoritmes 1. Je werkt daarbij met de losse cijfers van de getallen, vandaar de naam 2. Cijferen is geen trucje: elk algoritme steunt op de tientalligheid en het plaatswaardesysteem, en leerlingen moeten die procedures met inzicht kennen 3.

Cijferen is niet altijd de beste keuze. Bij 2 000 − 1 999 is hoofdrekenen veel sneller, bij heel grote getallen is een rekenmachine aangewezen. Leerlingen moeten eerst beslissen of een exacte uitkomst nodig is en welke rekenwijze dan past 2.

De leerlijn

Cijferen wordt van het 3de tot het 6de leerjaar opgebouwd: eerst zonder brug, lenen, onthouden of rest; dan met een 0 in de bewerking; dan met brug, lenen, onthouden en rest; daarna met kommagetallen, eerst in de eerste factor of het deeltal, dan in de tweede. Vooraf schatten en achteraf controleren horen er altijd bij 2.

Op het einde van de lagere school kunnen leerlingen vermenigvuldigen en delen met getallen tot 10 000, met een vermenigvuldiger en deler van één of twee cijfers 3. De oudere eindtermen gingen tot een vermenigvuldiger en deler van drie cijfers en tot twee cijfers na de komma in het quotiënt 4.

Cijferend optellen

Schrijf de getallen onder elkaar zodat gelijke rangen onder elkaar staan; bij kommagetallen dus komma onder komma. Vul eventueel aan met nullen. Begin rechts. Is de som in een kolom 10 of meer, dan schrijf je de eenheden op en neem je het tiental mee naar de volgende kolom ("onthouden") 2.

     1,790
     5,087
  + 12,400
  --------
    19,277

Cijferend aftrekken

Ook hier staan gelijke rangen onder elkaar en begin je rechts. Is het cijfer van het aftrektal te klein, dan leen (wissel in) je een eenheid van de rang links ervan: 1 tiental wordt 10 eenheden, 1 honderdtal wordt 10 tientallen.

Bij kommagetallen vul je aan met nullen: 8 564,002 − 6 368,280 = 2 195,722.

Cijferend vermenigvuldigen

Je vermenigvuldigt het bovenste getal achtereenvolgens met elk cijfer van de vermenigvuldiger en telt de deelproducten op. Dat steunt op de distributiviteit: 476 × 38 = 476 × 8 + 476 × 30 5.

       476
    ×   38
    ------
      3808     (8 × 476)
     14280     (30 × 476)
    ------
     18088

Omdat je 476 bij het tweede deelproduct met 30 vermenigvuldigt, schrijf je een 0 op de plaats van de eenheden (of je schuift een plaats op). Bij elk cijfer onthoud je de overdracht, en de tafels moeten paraat zijn 5.

De plaats van de komma

Vermenigvuldig eerst zonder op de komma te letten. Het product krijgt evenveel cijfers na de komma als beide factoren samen 2,5.

Nog een voorbeeld: 4 × 16,84 = 67,36 (1684 × 4 = 6 736, twee cijfers na de komma).

Cijferend delen: de staartdeling

Bij de staartdeling deel je het deeltal rang per rang, van links naar rechts. In België schrijf je het deeltal links, de deler rechts boven een streep, en het quotiënt onder de deler 6.

Stappen bij elke rang: schatten hoeveel keer de deler erin gaat, vermenigvuldigen, aftrekken, het volgende cijfer bijhalen.

Verder delen na de komma

Wil je geen rest maar een kommagetal, dan zet je een komma in het quotiënt zodra je de eenheden gedaan hebt, en deel je verder met tienden, honderdsten, ...: de rest 3 wordt 30 tienden 6.

• 47 : 4 = 11 rest 3; verder: 30 t : 4 = 7 t rest 2 t; 20 h : 4 = 5 h. Dus 47 : 4 = 11,75.
• 9,45 : 7 = 1,35 (bij een kommagetal als deeltal zet je de komma in het quotiënt zodra je de komma in het deeltal passeert).

Delen door een kommagetal

Maak de deler eerst een natuurlijk getal met het constant quotiënt: vermenigvuldig deeltal en deler met 10, 100 of 1 000 6,2.

• 13,5 : 0,25 = 1 350 : 25 = 54
• 8 : 0,4 = 80 : 4 = 20

Samengevat

• Cijferen is onder elkaar rekenen volgens vaste algoritmes, gebaseerd op het plaatswaardesysteem.
• Optellen en aftrekken: gelijke rangen (komma onder komma) onder elkaar, rechts beginnen, onthouden of lenen.
• Vermenigvuldigen: deelproducten per cijfer van de vermenigvuldiger optellen; het product heeft evenveel decimalen als beide factoren samen.
• Delen: rang per rang schatten, vermenigvuldigen, aftrekken, bijhalen; vergeet de 0 in het quotiënt niet.
• Is de deler een kommagetal, vermenigvuldig dan deeltal en deler met dezelfde macht van tien.
• Schat vooraf en controleer achteraf.