Deelbaarheid, priemgetallen, ggd en kgv

Waarom dit ertoe doet

Deelbaarheid lijkt een los onderwerp, maar je hebt het nodig bij breuken vereenvoudigen (ggd), breuken gelijknamig maken (kgv), handig rekenen en het controleren van berekeningen. De minimumdoelen vragen dat leerlingen de ggd en het kgv kennen en kunnen bepalen voor twee getallen tot en met 100 1.

Deler, veelvoud en deelbaar

Een getal is deelbaar door een ander getal als de deling opgaat, dus als de rest 0 is 2. 125 is deelbaar door 5 (125 : 5 = 25 rest 0); 128 is niet deelbaar door 7.

Als 36 deelbaar is door 4, dan:

• is 4 een deler van 36;
• is 36 een veelvoud van 4 (36 = 9 × 4).

Even getallen zijn deelbaar door 2 (0, 2, 4, 6, ...), oneven getallen niet (1, 3, 5, ...).

Delers zoeken

Zoek delers in paren, zo vergeet je er geen:

Delers van 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Je stopt zodra de factoren elkaar "kruisen" (bij 6 × 6).

Elk getal heeft 1 en zichzelf als deler. Het aantal delers is eindig.

Veelvouden zoeken

Veelvouden van 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ... Het zijn de uitkomsten van de tafel van 6, en de rij loopt eindeloos door.

Kenmerken van deelbaarheid

Met de kenmerken van deelbaarheid zie je zonder te delen of een getal deelbaar is 2:

Bij 2, 4, 5, 8, 10, 25, 100 en 1000 volstaan de laatste cijfers, omdat die getallen delers zijn van een macht van 10. Bij 3 en 9 gebruik je de cijfersom. Bij 6, 12 en 15 combineer je twee kenmerken van getallen zonder gemeenschappelijke deler 2.

De rest bepalen met de kenmerken

Je kunt met de kenmerken ook de rest bepalen 1:

• Rest bij deling door 2, 5 of 10: kijk naar het laatste cijfer. 4 573 : 5 geeft rest 3 (want 3 : 5 geeft rest 3). 4 578 : 5 geeft rest 3 (want 8 : 5 geeft rest 3).
• Rest bij deling door 100: de laatste twee cijfers. 7 805 : 100 geeft rest 5.
• Rest bij deling door 9 (of 3): de rest van de cijfersom. Voor 1 234 is de cijfersom 10, en 10 : 9 geeft rest 1. Dus 1 234 : 9 geeft ook rest 1 3.

Priemgetallen en samengestelde getallen

Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 met precies twee delers: 1 en zichzelf 4. Een getal groter dan 1 dat geen priemgetal is, heet een samengesteld getal 4.

De priemgetallen kleiner dan 100 (het zijn er 25):

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

De zeef van Eratosthenes

Een oude methode om priemgetallen te vinden 5:

1. Schrijf alle getallen van 2 tot een gekozen maximum.
2. Omcirkel het kleinste getal dat nog niet doorstreept is.
3. Streep alle veelvouden ervan door, maar niet het getal zelf.
4. Herhaal met het volgende getal dat niet doorstreept is.

Wat overblijft, zijn de priemgetallen.

Ontbinden in priemfactoren

Elk natuurlijk getal groter dan 1 kun je op precies één manier schrijven als een product van priemgetallen (afgezien van de volgorde) 4. Dat heet ontbinden in priemfactoren 6.

• 60 = 2 × 2 × 3 × 5
• 84 = 2 × 2 × 3 × 7
• 96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3

Werkwijze: deel telkens door het kleinst mogelijke priemgetal tot je 1 overhoudt.

De grootste gemeenschappelijke deler (ggd)

Een gemeenschappelijke deler van twee getallen is een getal dat deler is van allebei. De ggd is de grootste daarvan 7. De ggd van 8 en 12 is 4 7.

Methode 1, delers opsommen:

• delers van 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
• delers van 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
• gemeenschappelijke delers: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24; ggd(48, 72) = 24

Methode 2, priemfactoren: vermenigvuldig de gemeenschappelijke priemfactoren 7.

• 60 = 2 × 2 × 3 × 5 en 84 = 2 × 2 × 3 × 7
• gemeenschappelijk: 2 × 2 × 3 = 12, dus ggd(60, 84) = 12

Is de ggd gelijk aan 1, dan zijn de getallen onderling ondeelbaar (relatief priem), bijvoorbeeld 8 en 15 7.

Het kleinste gemeenschappelijk veelvoud (kgv)

Het kgv van twee getallen is het kleinste getal (groter dan 0) dat een veelvoud is van beide 8. Het kgv van 3 en 5 is 15.

Methode 1, veelvouden opsommen (van het grootste getal, tot je een veelvoud van het andere vindt):

• veelvouden van 24: 24, 48, ...; 48 is ook een veelvoud van 16. kgv(16, 24) = 48.

Methode 2, via de ggd: ggd × kgv = het product van de twee getallen 7,8. Dus kgv = product : ggd.

• kgv(14, 21) = (14 × 21) : 7 = 294 : 7 = 42

Samengevat

• Deelbaar betekent rest 0. Als 4 een deler is van 36, is 36 een veelvoud van 4.
• Kenmerken: 2, 5, 10 (laatste cijfer); 4, 25, 100 (laatste twee cijfers); 8, 1000 (laatste drie cijfers); 3 en 9 (cijfersom); 6 = 2 en 3.
• De rest bij deling door 9 of 3 is de rest van de cijfersom.
• Een priemgetal heeft precies twee delers. 1 is geen priemgetal, 2 is het enige even priemgetal.
• Elk getal groter dan 1 heeft één ontbinding in priemfactoren.
• ggd: grootste gemeenschappelijke deler (vereenvoudigen, verdelen). kgv: kleinste gemeenschappelijk veelvoud (gelijknamig maken, samenvallen).
• ggd × kgv = product van de twee getallen.