Eigenschappen van bewerkingen, volgorde van bewerkingen en het gelijkheidsteken

Waarom dit ertoe doet

Handig rekenen is niets anders dan bewust gebruikmaken van de eigenschappen van bewerkingen. Wie weet waarom 25 + 38 + 75 gelijk is aan 25 + 75 + 38, kan sneller en met minder fouten rekenen. De volgorde van bewerkingen en het correct gebruik van het gelijkheidsteken zijn dan weer afspraken die elke leerling op het einde van de lagere school moet kennen 1.

De basiseigenschappen

Commutativiteit: van plaats wisselen

Bij optellen en vermenigvuldigen mag je de getallen van plaats wisselen zonder dat de uitkomst verandert: 5 + 2 = 2 + 5 en 5 × 6 = 6 × 5 2.

Aftrekken en delen zijn niet commutatief: 5 − 2 = 3, maar 2 − 5 is iets anders; 6 : 3 = 2, maar 3 : 6 = $\frac{1}{2}$ 2.

Associativiteit: schakelen

Bij optellen en vermenigvuldigen mag je de haakjes verplaatsen (anders schakelen) zonder dat de uitkomst verandert 3:

• (5 + 2) + 3 = 5 + (2 + 3) = 10
• (5 × 2) × 3 = 5 × (2 × 3) = 30

Aftrekken is niet associatief: (5 − 3) − 2 = 0, maar 5 − (3 − 2) = 4 3.

Distributiviteit: splitsen en verdelen

Vermenigvuldigen is distributief over optellen en aftrekken: de vermenigvuldiging "verdeelt" zich over de termen 4.

• 5 × 24 = 5 × (20 + 4) = 5 × 20 + 5 × 4 = 100 + 20 = 120 5
• 98 × 12 = (100 − 2) × 12 = 1 200 − 24 = 1 176

Bij delen werkt dat enkel als je het deeltal splitst (de deling is alleen rechtsdistributief) 1:

• 234 : 3 = (210 + 24) : 3 = 210 : 3 + 24 : 3 = 70 + 8 = 78 (juist)
• 60 : (10 + 5) is niet gelijk aan 60 : 10 + 60 : 5. Het eerste is 60 : 15 = 4, het tweede 6 + 12 = 18.

Neutraal en opslorpend element

Een neutraal element verandert niets aan het getal waarmee je de bewerking uitvoert 6:

• bij optellen is dat 0: 37 + 0 = 37;
• bij vermenigvuldigen is dat 1: 37 × 1 = 37.

Ook 37 − 0 = 37 en 37 : 1 = 37, maar daar werkt het enkel rechts van het bewerkingsteken (0 − 37 en 1 : 37 zijn iets anders).

Een opslorpend element "slorpt" alles op: bij vermenigvuldigen is dat 0, want elk getal maal 0 is 0 5: 3 589 × 0 = 0.

Eigenschappen die een uitkomst constant houden

In het zesde leerjaar komen daar eigenschappen bij die je gebruikt om handig te rekenen 1:

Een factor of de deler ontbinden: vermenigvuldigen met 12 is hetzelfde als vermenigvuldigen met 3 en daarna met 4; delen door 12 is delen door 3 en daarna door 4 1.

• 25 × 32 = 25 × 4 × 8 = 100 × 8 = 800
• 3 000 : 12 = 3 000 : 3 : 4 = 1 000 : 4 = 250

De volgorde van bewerkingen

Zonder afspraak kan 2 + 3 × 4 zowel 20 als 14 opleveren. Daarom bestaat er een vaste volgorde 7:

1. wat tussen haakjes staat;
2. machten (en wortels);
3. vermenigvuldigen en delen, van links naar rechts;
4. optellen en aftrekken, van links naar rechts.

Bewerkingen op hetzelfde niveau zijn gelijkwaardig en voer je uit van links naar rechts 7. In de lagere school leer je eerst de rekenvolgorde van links naar rechts en het gebruik van haakjes, daarna de volledige volgorde 1.

Haakjes

Haakjes gebruik je om de volgorde te doorbreken of om een volgorde te benadrukken 1:

• doorbreken: 3 × (6 + 4) = 3 × 10 = 30, terwijl 3 × 6 + 4 = 22;
• benadrukken: 7 + 9 = (7 + 3) + 6, om aan te geven dat je eerst tot 10 aanvult.

Het gelijkheidsteken

Het gelijkheidsteken = drukt uit dat wat links staat gelijk is aan wat rechts staat 8. Veel leerlingen zien = alleen als "nu komt de uitkomst". Daardoor schrijven ze kettingen die wiskundig fout zijn 1:

• fout: 76 + 23 = 76 + 20 = 96 + 3 = 99 (want 76 + 23 is niet gelijk aan 76 + 20);
• juist: 76 + 23 = 76 + 20 + 3 = 96 + 3 = 99.

Verwante tekens: ≠ (is niet gelijk aan) en ≈ (is ongeveer gelijk aan), dat je gebruikt bij een schatting 8.

Samengevat

• Commutatief (van plaats wisselen) en associatief (schakelen): optellen en vermenigvuldigen wel, aftrekken en delen niet.
• Distributief (splitsen en verdelen): vermenigvuldigen over optellen en aftrekken; bij delen enkel het deeltal splitsen.
• Neutraal element: 0 bij optellen, 1 bij vermenigvuldigen. Opslorpend element: 0 bij vermenigvuldigen.
• Constante som, constant verschil, constant product en constant quotiënt (de rest verandert wel mee).
• Een factor of de deler mag je ontbinden: × 12 = × 3 × 4; : 12 = : 3 : 4.
• Volgorde: haakjes, machten, × en : van links naar rechts, + en − van links naar rechts.
• Het gelijkheidsteken betekent "is gelijk aan", geen "en dan".