Natuurlijke getallen en het plaatswaardesysteem

Waarom dit ertoe doet

Getallenkennis is het fundament van alle andere wiskunde in de lagere school. Wie het tientallig stelsel en de plaatswaarde niet doorheeft, loopt later vast bij cijferen, kommagetallen, metend rekenen en procenten 1. Op het einde van het zesde leerjaar moet een leerling de waarde van elk cijfer kennen in getallen tot en met 10 miljard, en miljoen en miljard als eenheid kunnen gebruiken 2.

Cijfer en getal

Een cijfer is een van de tien symbolen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9. Een getal is een hoeveelheid of waarde die je met één of meer cijfers noteert. Het getal 507 bestaat dus uit drie cijfers: 5, 0 en 7.

De natuurlijke getallen zijn de getallen die je gebruikt om te tellen: 0, 1, 2, 3, 4, ... 3. In het Vlaamse onderwijs rekent men 0 bij de natuurlijke getallen 4.

Functies van getallen

Een getal kan verschillende dingen aanduiden 2:

Het tientallig positiestelsel

Ons talstelsel is tientallig (decimaal): het grondtal is 10. Tien eenheden vormen één tiental, tien tientallen één honderdtal, tien honderdtallen één duizendtal, enzovoort 4. Het is ook een positiestelsel: de plaats van een cijfer bepaalt zijn waarde. Het getal 1234 betekent 1 × 1000 + 2 × 100 + 3 × 10 + 4 × 1 5.

De positietabel tot 10 miljard

De afkortingen E, T, H, D en TD leer je tegen het einde van het vierde leerjaar; HD, M, TM, HM en Md tegen het einde van het zesde 2.

In 7 305 482 916:

• staat het cijfer 5 op de plaats van de miljoenen; de waarde van dat cijfer is 5 M of 5 000 000;
• is de waarde van het cijfer 8 gelijk aan 8 TD of 80 000;
• staat het cijfer 0 op de plaats van de tienmiljoenen: de nul is een plaatshouder.

Elke plaats is tien keer zoveel waard als de plaats rechts ervan. Dat is de kern van het positiestelsel 5.

Getallen lezen en schrijven

Bij het noteren in cijfers groepeer je de cijfers per drie, van rechts naar links. Volgens de normen gebruik je daarvoor een spatie; een punt is in niet-technische teksten ook gebruikelijk, maar in wiskunde schrijf je 1 000 000 met spaties 6. De komma is het decimaalteken.

Bij het schrijven in letters schrijf je aaneen tot aan het woord duizend, daarna volgt een spatie; voor en na miljoen en miljard staat ook een spatie 7:

• 6500: zesduizend vijfhonderd
• 7 305 482 916: zeven miljard driehonderdvijf miljoen vierhonderdtweeëntachtigduizend negenhonderdzestien

Miljoen en miljard als eenheid

Een miljard is duizend miljoen, dus 1 000 000 000 8. Grote getallen schrijf je vaak met miljoen of miljard als eenheid en een kommagetal ervoor 2:

Splitsen, samenstellen en herstructureren

Splitsen volgens de plaatswaarde: 4 060 300 = 4 M + 6 TD + 3 H = 4 000 000 + 60 000 + 300.

Samenstellen is de omgekeerde weg: 2 Md + 5 HM + 7 D = 2 500 007 000.

Herstructureren betekent een getal anders opsplitsen zodat een bewerking eenvoudiger wordt 2. Voor 234 : 3 splits je 234 in 210 + 24, twee getallen die vlot deelbaar zijn door 3. Ook 7 200 000 = 72 HD = 7 200 D is herstructureren.

Vergelijken, ordenen en de getallenas

Om natuurlijke getallen te vergelijken:

1. Tel het aantal cijfers. Het getal met meer cijfers is groter: 102 345 678 > 98 765 432.
2. Bij evenveel cijfers vergelijk je van links naar rechts tot je een verschil vindt: 4 382 917 < 4 389 001, want op de plaats van de duizendtallen staat 2 < 9.

Gebruik de tekens <, >, =, ≠, ≤ en ≥ correct. De opening van < of > wijst naar het grootste getal.

Op een getallenas staan de getallen van klein (links) naar groot (rechts) op gelijke afstanden. Om 2 750 000 te plaatsen op een as van 2 miljoen tot 3 miljoen, deel je dat stuk in vier gelijke delen: 2 750 000 ligt op drie vierde.

Tellen, regelmaat en patronen

Leerlingen tellen, doortellen en terugtellen met eenheden, tweetallen, vijftallen en machten van tien, en met sprongen van 25, 50, 100, 125 en 1 000 2. In de derde graad komt daar het herkennen, beschrijven en verderzetten van patronen bij:

• 3, 7, 11, 15, ... telkens + 4, dus daarna 19;
• 2, 6, 18, 54, ... telkens × 3, dus daarna 162;
• 1 000 000, 1 250 000, 1 500 000, ... telkens + 250 000;
• 100, 81, 64, 49, ... de kwadraten 10 × 10, 9 × 9, 8 × 8, 7 × 7, dus daarna 36.

Een patroon "opvullen" betekent een ontbrekend getal in het midden van de rij vinden.

Andere talstelsels

Niet alle culturen schreven getallen zoals wij. Het Romeinse stelsel is geen positiestelsel maar een additief stelsel: je telt de waarden van de symbolen op, en er bestaat geen symbool voor nul 9.

Staat een kleiner symbool vóór een groter, dan trek je het af: IV = 4, XL = 40, CM = 900. Hetzelfde symbool komt hooguit drie keer na elkaar 9.

• 49 = XL + IX = XLIX
• 1999 = M + CM + XC + IX = MCMXCIX
• 2026 = MMXXVI

Andere stelsels hebben een ander grondtal: de Babyloniërs gebruikten een zestigtallig stelsel, computers werken tweetallig (binair) 5.

Samengevat

• Een cijfer is een symbool (0 tot 9); een getal is een waarde, genoteerd met één of meer cijfers.
• Getallen duiden een aantal, een rangorde of een code aan.
• In ons tientallig positiestelsel bepaalt de plaats van een cijfer zijn waarde; elke plaats is tien keer de plaats rechts ervan.
• Ken de afkortingen E, T, H, D, TD, HD, M, TM, HM, Md en de waarde van elk cijfer tot 10 miljard.
• Schrijf grote getallen met een spatie per groep van drie cijfers; in letters aaneen tot duizend, spaties rond miljoen en miljard.
• Miljoen en miljard gebruik je als eenheid: 8,2 miljard = 8 200 000 000.
• Vergelijk eerst het aantal cijfers, daarna cijfer per cijfer van links naar rechts.
• Romeinse cijfers vormen een additief stelsel zonder nul.