Bewerkingen met breuken

Waarom dit ertoe doet

Rekenen met breuken is een sleutelonderdeel van de derde graad en een frequente bron van fouten, ook bij volwassenen. De minimumdoelen vragen niet alleen dat leerlingen de regels toepassen, maar ook dat ze een schematische voorstelling kennen van elke bewerking 1. Je moet als leerkracht dus kunnen uitleggen waarom de regels werken.

Optellen en aftrekken

Gelijknamige breuken

Gelijknamige breuken tel je op of trek je af door de tellers op te tellen of af te trekken; de noemer blijft 2,3:

$\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Schematisch: een taart in vier gelijke stukken; je hebt er 3, je neemt er 1 weg, je houdt er 2 van de 4 over. De stukken blijven vierden: de noemer verandert niet 3.

Ongelijknamige breuken

Maak de breuken eerst gelijknamig, bij voorkeur met het kgv van de noemers, en tel dan de tellers op 4,3:

$\frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$

Schematisch: knip een strook van 1 m in vijf en een andere in tien gelijke stukken. Leg je ze naast elkaar, dan zie je dat $\frac{1}{5}$ m even lang is als $\frac{2}{10}$ m 3.

Gemengde getallen

Tel de gehelen en de breuken apart op, of zet alles om naar onechte breuken:

$2\frac{1}{2} + 1\frac{2}{3} = 2\frac{3}{6} + 1\frac{4}{6} = 3\frac{7}{6} = 4\frac{1}{6}$

Bij aftrekken moet je soms een geheel "inwisselen": $3\frac{1}{4} - 1\frac{2}{3} = 3\frac{3}{12} - 1\frac{8}{12} = 2\frac{15}{12} - 1\frac{8}{12} = 1\frac{7}{12}$.

Een breuk van een getal: 'van' is 'maal'

Een breuk van een getal nemen doe je in twee stappen: delen door de noemer (één deel) en vermenigvuldigen met de teller (zoveel delen) 3:

$\frac{2}{5}$ van 25 = (25 : 5) × 2 = 5 × 2 = 10

Rond het 5de leerjaar wordt "een breuk nemen van" gelijkgesteld met vermenigvuldigen: $\frac{3}{4}$ van 20 = $\frac{3}{4}$ × 20 = 15 3,1. Een context helpt: een atleet loopt $2\frac{1}{2}$ keer rond een piste van 400 m, dus $2\frac{1}{2}$ × 400 m = 1 000 m 3.

Vermenigvuldigen met breuken

Bronnen: 2,3.

De betekenis verschilt: 3 × $\frac{1}{6}$ is "3 keer een zesde" (herhaalde optelling), $\frac{3}{4}$ × 20 is "drie vierde van 20" (operator). Breuk × breuk lees je ook als "van": $\frac{1}{5}$ van $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{15}$.

Delen met breuken

Breuk gedeeld door een natuurlijk getal

Is de teller deelbaar door het getal, deel dan de teller: $\frac{12}{5} : 4 = \frac{3}{5}$. Anders vermenigvuldig je de noemer met het getal: $\frac{7}{3} : 2 = \frac{7}{6}$ 3.

Schematisch: $\frac{1}{4}$ van een strook verdelen over 4 mensen geeft elk $\frac{1}{16}$ van de strook. Delen door 4 is hetzelfde als $\frac{1}{4}$ ervan nemen.

Delen door een breuk

Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde van die breuk 2. Het omgekeerde van $\frac{2}{3}$ is $\frac{3}{2}$.

• $3 : \frac{1}{3} = 3 \times 3 = 9$. Betekenis (verhoudingsdeling): hoeveel derden passen er in 3 gehelen? In elk geheel 3, dus 9.
• $6 : \frac{3}{4} = 6 \times \frac{4}{3} = \frac{24}{3} = 8$
• $\frac{9}{4} : \frac{2}{3} = \frac{9}{4} \times \frac{3}{2} = \frac{27}{8} = 3\frac{3}{8}$

De drie basisregels

Alle bovenstaande werkwijzen vallen samen in drie basisregels 1:

1. Optellen en aftrekken: maak gelijknamig, tel of trek de tellers af, behoud de noemer.
2. Breuk × breuk: teller × teller, noemer × noemer. (Een natuurlijk getal schrijf je als breuk met noemer 1.)
3. Breuk : breuk: vermenigvuldig met het omgekeerde van de deler.

Vereenvoudig de uitkomst altijd, en zet een onechte breuk om naar een gemengd getal als dat gevraagd wordt.

Kommagetallen via breuken

Vermenigvuldigen en delen met kommagetallen wordt inzichtelijk als je ze omzet naar breuken (zie ook de les over hoofdrekenen) 1:

• 0,4 × 0,7 = $\frac{4}{10} \times \frac{7}{10} = \frac{28}{100}$ = 0,28
• 5,4 : 1,2 = $\frac{54}{10} : \frac{12}{10} = \frac{54}{10} \times \frac{10}{12} = \frac{54}{12} = \frac{9}{2}$ = 4,5

Samengevat

• Gelijknamige breuken: tellers optellen of aftrekken, noemer behouden. Nooit de noemers optellen.
• Ongelijknamige breuken: eerst gelijknamig maken met het kgv van de noemers.
• Een breuk van een getal: delen door de noemer, vermenigvuldigen met de teller; 'van' betekent 'maal'.
• Breuk × breuk: teller × teller en noemer × noemer; schematisch met het rechthoekmodel.
• Breuk : natuurlijk getal: teller delen of noemer vermenigvuldigen.
• Delen door een breuk: vermenigvuldigen met het omgekeerde van de deler.
• Vereenvoudig waar het kan, liefst vóór het vermenigvuldigen.