Logica en verzamelingen

Wiskunde vraagt nauwkeurig taalgebruik. "Sommige", "alle", "of" en "als ... dan" lijken alledaagse woorden, maar in de wiskunde hebben ze een precieze betekenis. Wie die betekenis beheerst, kan definities lezen, figuren correct indelen en uitspraken beoordelen. In de minimumdoelen staat dit onderdeel bij meetkunde, omdat het vooral gebruikt wordt om figuren te classificeren 1.

Verzamelingen en elementen

Een verzameling is een geheel van objecten die volgens een bepaalde afspraak bij elkaar horen; die objecten zijn de elementen van de verzameling 2. Van elk object moet vaststaan of het behoort tot de verzameling of niet behoort tot de verzameling. Daarom zijn definities zo belangrijk: ze bepalen welke elementen erbij horen en welke niet 1.

Een deelverzameling is een verzameling die volledig in een andere verzameling bevat is: elk element ervan is ook element van de grote verzameling 3. De vierkanten vormen een deelverzameling van de rechthoeken.

Het venndiagram

Een venndiagram stelt verzamelingen voor met gesloten lijnen (meestal cirkels of ovalen) binnen een rechthoek die alle bekeken objecten bevat 4. Leerlingen stellen een verzameling objecten voor in een venndiagram 1.

• De doorsnede van twee verzamelingen is het gemeenschappelijke gebied: de elementen die tot beide verzamelingen behoren 5,1. In woorden: A en B.
• De vereniging bestaat uit alle elementen die tot minstens één van de verzamelingen behoren 6. In woorden: A of B.
• Het gebied buiten een cirkel bevat de elementen die niet tot die verzameling behoren.
• Twee verzamelingen zonder gemeenschappelijke elementen hebben een lege doorsnede 5; in het diagram overlappen de cirkels dan niet of blijft het overlappende gebied leeg.
• Een deelverzameling teken je als een cirkel binnen een andere cirkel.

En, of, niet

• en: beide voorwaarden moeten waar zijn (doorsnede).
• of: minstens één voorwaarde moet waar zijn; beide mag ook (vereniging). Dat is anders dan in de omgangstaal, waar "of" soms "het ene of het andere, maar niet beide" betekent.
• niet: de voorwaarde mag niet waar zijn (buiten de cirkel).

De minimumdoelen geven het voorbeeld: "verzamel de figuren die een rechthoek of een ruit zijn". Daarbij horen ook de vierkanten, want die zijn allebei 1.

Kwantoren: hoeveel elementen?

Deze begrippen staan uitdrukkelijk in de minimumdoelen 1. Een voorbeeld uit de doelen: "een rechthoek die geen vierkant is, heeft juist 2 symmetrieassen" 1.

Als ... dan ...

Een uitspraak "als P, dan Q" beweert dat Q waar is telkens P waar is. Ze is alleen onwaar als P waar is en Q onwaar 7.

• "Als een vierhoek een vierkant is, dan heeft hij loodrechte diagonalen." Waar.
• De omgekeerde uitspraak "Als een vierhoek loodrechte diagonalen heeft, dan is het een vierkant." is onwaar: een ruit of een vlieger heeft ook loodrechte diagonalen.

Een als-dan-uitspraak omkeren levert dus niet automatisch een ware uitspraak op. Het voorbeeld met de loodrechte diagonalen staat zo in de minimumdoelen 1.

Waar of niet waar: het tegenvoorbeeld

Om een "alle"-uitspraak te weerleggen, volstaat één tegenvoorbeeld 8. Om ze te bewijzen, volstaan voorbeelden niet: je moet redeneren vanuit de definitie.

Classificeren volgens meerdere criteria

Je kunt objecten indelen volgens twee of meer kenmerken tegelijk 1:

• met een venndiagram met twee of drie overlappende cirkels;
• met een kruistabel (rijen voor het ene criterium, kolommen voor het andere);
• met een boomdiagram: bij elke vertakking beslis je over één kenmerk (ja/nee), tot elk object op zijn plaats staat.

Classificeren volgens toenemend aantal eigenschappen geeft steeds kleinere verzamelingen (vierhoek, trapezium, parallellogram, rechthoek, vierkant); volgens afnemend aantal eigenschappen steeds grotere 1.

Samengevat

• Een verzameling bestaat uit elementen; een element behoort er wel of niet toe. Een deelverzameling ligt volledig in een andere verzameling.
• Venndiagram: doorsnede = gemeenschappelijk gebied (en), vereniging = alles samen (of), buiten de cirkel = niet.
• In de wiskunde betekent "of" minstens één van beide, en "sommige" minstens één.
• Alle, sommige, geen, niet alle, juist één, ten minste, ten hoogste hebben een precieze betekenis.
• Een als-dan-uitspraak omkeren geeft niet automatisch een ware uitspraak.
• Eén tegenvoorbeeld weerlegt een "alle"-uitspraak. Classificeren kan met venndiagram, kruistabel of boomdiagram.