Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren

Hoeveel meter omheining heb je nodig rond een moestuin, en hoeveel zakken potgrond om hem te vullen? De eerste vraag gaat over omtrek, de tweede over oppervlakte. De minimumdoelen vragen dat je de formules niet alleen paraat kent, maar ook kunt afleiden door een figuur om te vormen tot een figuur waarvan je de oppervlakte al kent 1. Begrijp je die afleidingen, dan kun je een vergeten formule altijd zelf reconstrueren.

Omtrek: de lengte van de rand

De omtrek van een vlakke figuur is de totale lengte van de rand, de afstand die je aflegt als je één keer rond de figuur loopt 2. Omtrek is een lengte en dus eendimensionaal: je drukt hem uit in m, cm, mm enzovoort.

• De omtrek van een veelhoek is de som van de lengtes van de zijden 2.
• Rechthoek: $\text{omtrek} = 2 \times (\text{lengte} + \text{breedte})$ 3.
• Vierkant met zijde $z$: $\text{omtrek} = 4 \times z$ 4.
• Regelmatige veelhoek met $n$ zijden van lengte $z$: $\text{omtrek} = n \times z$ 2.

Ook van een gebogen of grillige vorm kun je de omtrek bepalen, bijvoorbeeld door een touw langs de rand te leggen en dat daarna te meten 2,1.

De cirkel en het getal pi

Een cirkel bestaat uit alle punten die even ver van een vast punt liggen, het middelpunt. Die afstand is de straal $r$. De diameter $d$ is de grootste afstand tussen twee punten van de cirkel en is precies tweemaal de straal: $d = 2 \times r$ 5.

Het getal pi ($\pi$) is de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel 6. Bij elke cirkel, groot of klein, past de diameter iets meer dan drie keer in de omtrek. In de lagere school reken je met de benadering $\pi \approx 3{,}14$ 1. Pi heeft oneindig veel decimalen zonder herhalend patroon: 3,141 592 653... 6

$\text{omtrek cirkel} = \pi \times d = 2 \times \pi \times r$

Oppervlakte: de grootte van het gebied

Oppervlakte is tweedimensionaal en meet je in vierkante eenheden (cm², m², ...). Je kunt ze bepalen door eenheidsvierkantjes te tellen op roosterpapier, ook bij grillige vormen 1. Voor veel figuren is een formule sneller. Die formules steunen op twee eenvoudige principes: de oppervlakte van een rechthoek is lengte maal breedte, en als je een figuur in stukken knipt en anders legt, verandert de totale oppervlakte niet 7.

Rechthoek en vierkant

$\text{oppervlakte rechthoek} = \text{lengte} \times \text{breedte} = \text{basis} \times \text{hoogte}$

Een rechthoek van 5 cm op 3 cm bestaat uit 3 rijen van 5 vierkante centimeters: 15 cm². Een vierkant is een rechthoek met gelijke zijden: oppervlakte $= z \times z$ 4.

Parallellogram

Knip aan één kant een rechthoekige driehoek af en schuif die naar de andere kant. Je krijgt een rechthoek met dezelfde basis en dezelfde hoogte 7,8:

$\text{oppervlakte parallellogram} = b \times h$

De hoogte is de loodrechte afstand tussen de basis en de overstaande zijde, niet de lengte van de schuine zijde.

Driehoek

Twee gelijke (congruente) driehoeken vormen samen een parallellogram met dezelfde basis en hoogte. Een driehoek is dus de helft van dat parallellogram 7:

$\text{oppervlakte driehoek} = \frac{b \times h}{2}$

Elke zijde kan als basis dienen; de hoogte is dan de loodlijn uit het overstaande hoekpunt op (het verlengde van) die basis.

Ruit (en vlieger)

Een ruit past precies in een rechthoek waarvan de zijden even lang zijn als de diagonalen; de ruit vult de helft van die rechthoek. Daarom 9:

$\text{oppervlakte ruit} = \frac{D \times d}{2}$

met $D$ de grote en $d$ de kleine diagonaal. Omdat een ruit ook een parallellogram is, mag je ook basis × hoogte rekenen 9. Dezelfde diagonaalformule geldt voor een vlieger 10.

Trapezium

Leg twee gelijke trapezia zo tegen elkaar dat het ene ondersteboven ligt. Samen vormen ze een parallellogram met basis $B + b$ (grote basis plus kleine basis) en dezelfde hoogte. Eén trapezium is daar de helft van 11:

$\text{oppervlakte trapezium} = \frac{(B + b) \times h}{2}$

Regelmatige veelhoek

Verbind het middelpunt met alle hoekpunten. Een regelmatige veelhoek met $n$ zijden valt zo uiteen in $n$ gelijke driehoeken, elk met als basis een zijde $z$ en als hoogte de afstand $a$ van het middelpunt tot een zijde. Een veelhoek opdelen in driehoeken is precies de manier waarop men de oppervlakte van veelhoeken bepaalt 7:

$\text{oppervlakte} = n \times \frac{z \times a}{2} = \frac{\text{omtrek} \times a}{2}$

Cirkel

Verdeel een cirkel in veel gelijke taartpunten en leg ze afwisselend met de punt naar boven en naar beneden. Je krijgt bijna een parallellogram met als basis de helft van de omtrek ($\pi \times r$) en als hoogte de straal $r$. Daarom:

$\text{oppervlakte cirkel} = \pi \times r \times r$

Samengestelde figuren

Een L-vormige kamer of een tuin met een uitsprong reken je uit door de figuur op te delen in rechthoeken (of andere bekende figuren) en de oppervlakten op te tellen. Je kunt ook de figuur aanvullen tot een grote rechthoek en het ontbrekende stuk aftrekken 1. Let op bij de omtrek: die is niet de som van de omtrekken van de deelfiguren, want de binnenlijnen horen niet bij de rand.

Samengevat

• Omtrek = lengte van de rand (eendimensionaal); oppervlakte = grootte van het gebied (tweedimensionaal).
• Omtrek veelhoek = som van de zijden; omtrek cirkel = $\pi \times d = 2 \times \pi \times r$ met $\pi \approx 3{,}14$.
• Rechthoek $l \times b$; vierkant $z \times z$; parallellogram $b \times h$; driehoek $b \times h : 2$.
• Ruit en vlieger $D \times d : 2$; trapezium $(B + b) \times h : 2$; regelmatige veelhoek omtrek $\times\, a : 2$; cirkel $\pi \times r \times r$.
• Elke formule volgt uit omstructureren naar een rechthoek of parallellogram; de hoogte staat loodrecht op de basis.