Ruimtefiguren en ontvouwingen

Dozen, blikken, ballen, tenten: de wereld om ons heen bestaat uit driedimensionale vormen. In de lagere school leren kinderen die ruimtefiguren benoemen, indelen en uit een plat stuk karton opbouwen. Vooral het herkennen van een juiste ontvouwing vraagt ruimtelijk inzicht, en precies dat wordt graag getoetst.

Basisbegrippen

• Een ruimtefiguur of lichaam is een driedimensionale figuur.
• Het oppervlak is de buitenkant van de figuur. Een vlak stuk van dat oppervlak dat een veelhoek is, heet een zijvlak. Het vlak waarop de figuur rust of waarnaar ze genoemd wordt, is het grondvlak.
• Een ribbe is een lijnstuk waar twee zijvlakken samenkomen 1.
• Een hoekpunt is een punt waar ribben samenkomen 2.
• Een gebogen oppervlak is een deel van het oppervlak dat niet plat is, zoals de mantel van een cilinder.
• Een ontvouwing (ook bouwplaat of uitslag) is het platte patroon dat je krijgt als je het oppervlak openknipt en plat legt 3.

Veelvlakken

Een veelvlak is een lichaam dat uitsluitend begrensd wordt door veelhoeken, de zijvlakken. Voorbeelden zijn de balk, de kubus en de piramide 2.

• Kubus: zes vierkante zijvlakken, twaalf ribben, acht hoekpunten; alle ribben zijn even lang 4.
• Balk: zes rechthoekige zijvlakken die twee aan twee congruent zijn, acht hoekpunten en twaalf ribben 5. Een kubus is een balk met gelijke ribben 5.
• Prisma: twee congruente, evenwijdige veelhoeken als grondvlak en bovenvlak, verbonden door parallellogrammen; bij een recht prisma zijn dat rechthoeken 6. Een balk is een recht prisma met een rechthoekig grondvlak 5.
• Piramide: een veelhoek als grondvlak en driehoekige zijvlakken die samenkomen in één punt, de top 7.

Een prisma of piramide noem je naar de vorm van het grondvlak: een vijfzijdig prisma, een zeshoekige piramide. Voor een prisma met een $n$-hoek als grondvlak geldt: $n + 2$ vlakken, $3n$ ribben en $2n$ hoekpunten. Voor een piramide met een $n$-hoek als grondvlak: $n + 1$ vlakken, $2n$ ribben en $n + 1$ hoekpunten 1.

Lichamen met een gebogen oppervlak

• Cilinder: twee evenwijdige, gelijke cirkels als grondvlak en bovenvlak, verbonden door een gebogen oppervlak, de mantel 8.
• Kegel: een cirkelvormig grondvlak en een gebogen oppervlak dat samenkomt in de top 9.
• Bol: alle punten liggen op hoogstens een vaste afstand (de straal) van het middelpunt 10. Een bol heeft geen ribben en geen hoekpunten.

Cilinder, kegel en bol zijn geen veelvlakken, omdat hun oppervlak (deels) gebogen is.

Ontvouwingen

De minimumdoelen vragen dat je uit juiste en foute varianten de juiste ontvouwingen van een kubus, een balk en een cilinder kunt kiezen 3.

Kubus

Een kubus heeft elf verschillende ontvouwingen, telkens opgebouwd uit zes aan elkaar grenzende vierkanten 11. Zo herken je een foute ontvouwing:

• er zijn niet precies zes vierkanten;
• vier vierkanten vormen samen een blok van 2 bij 2: in één hoekpunt van een kubus komen maar drie vlakken samen, dus zo'n blok kan niet dichtgevouwen worden;
• er liggen vijf of meer vierkanten op één rij: dan overlappen twee vlakken;
• bij het dichtvouwen zouden twee vierkanten op dezelfde plaats belanden.

Handig: in een rij van drie vierkanten worden het eerste en het derde overstaande vlakken. Op een dobbelsteen tellen overstaande vlakken samen 7 ogen 12; dat helpt om een ontvouwing van een dobbelsteen te controleren.

Balk

Een ontvouwing van een balk bestaat uit zes rechthoeken in drie paren van gelijke rechthoeken. Elke ribbe die bij het vouwen samenkomt, moet even lang zijn aan beide kanten. Fout is bijvoorbeeld een bouwplaat waarin een zijvlak te kort is, zodat het niet aansluit bij het vlak waartegen het moet komen.

Cilinder

Een ontvouwing van een cilinder bestaat uit twee gelijke cirkels en één rechthoek (de mantel). De lengte van de rechthoek moet gelijk zijn aan de omtrek van de cirkel ($\pi \times d$), de breedte is de hoogte van de cilinder. De cirkels liggen tegen de twee tegenover elkaar liggende zijden van de rechthoek die even lang zijn als de omtrek.

Ruimtefiguren classificeren

Je kunt ruimtefiguren indelen met verzamelingen, bijvoorbeeld 3:

• veelvlakken: kubus, balk, prisma, piramide;
• lichamen met een gebogen oppervlak: cilinder, kegel, bol.

Een tweede criterium kan zijn "heeft een top" (piramide, kegel) of "heeft twee gelijke evenwijdige grondvlakken" (prisma, balk, kubus, cilinder).

Samengevat

• Zijvlak, grondvlak, ribbe, hoekpunt, gebogen oppervlak en ontvouwing zijn de kernbegrippen.
• Veelvlakken (alleen vlakke veelhoeken): kubus en balk (6 vlakken, 12 ribben, 8 hoekpunten), prisma, piramide.
• Lichamen met een gebogen oppervlak: cilinder, kegel, bol.
• Vlakken + hoekpunten − ribben = 2 bij veelvlakken als kubus, balk, prisma en piramide.
• Een kubus heeft 11 ontvouwingen; nooit een 2 bij 2-blok of vijf vierkanten op een rij.
• Cilinderontvouwing: twee cirkels en een rechthoek met lengte = omtrek van de cirkel.