Transformaties, symmetrie, congruentie en gelijkvormigheid

Een vlinder, een verkeersbord, een tegelvloer: symmetrie en herhaling zie je overal. Wiskundig worden ze beschreven met transformaties, bewegingen die een figuur (het origineel) omzetten in een nieuwe figuur (het beeld) 1. In deze les zie je welke transformaties de vorm en de grootte bewaren, en welke alleen de vorm.

Drie bewegingen die vorm en grootte bewaren

Verschuiving

Bij een verschuiving (translatie) gaat elk punt van de figuur over dezelfde afstand in dezelfde richting, zonder te draaien 2. Op roosterpapier beschrijf je een verschuiving bijvoorbeeld als "4 hokjes naar rechts en 2 omhoog".

Draaiing

Bij een draaiing (rotatie) draaien alle punten over een vaste hoek rond een vast punt, het draaipunt 3. Je geeft dus een draaipunt, een hoek (bv. 90°) en een draairichting (wijzerzin of tegenwijzerzin) op. Een draaiing verandert de oriëntatie van de figuur niet 3: een gedraaide letter F blijft een F, ze wordt geen gespiegelde F.

Spiegeling

Bij een spiegeling om een spiegelas ligt elk beeldpunt even ver van de as als het originele punt, aan de andere kant, op een loodlijn op de as. Het beeld heet het spiegelbeeld 4,1. Een spiegeling keert de oriëntatie om: links en rechts lijken verwisseld 4.

Bij alle drie de bewegingen blijven afstanden en hoeken gelijk. Origineel en beeld zijn dus congruent 4,5.

Spiegelen op roosterpapier

Werkwijze om een veelhoek te spiegelen om een spiegelas 1:

1. Neem één hoekpunt. Tel hoeveel hokjes het loodrecht van de spiegelas ligt.
2. Tel aan de andere kant van de as evenveel hokjes verder, ook loodrecht op de as. Daar ligt het beeldpunt.
3. Doe dat voor alle hoekpunten en verbind de beeldpunten in dezelfde volgorde.
4. Controleer met een geospiegel: in de spiegel moet het origineel samenvallen met je beeld 1.

Punten die op de spiegelas liggen, blijven op hun plaats.

Symmetrie

Een figuur is symmetrisch (spiegelsymmetrisch) als een spiegeling haar op zichzelf afbeeldt; de spiegelas heet dan symmetrieas 1,6. Een papieren symmetrische figuur kun je langs de symmetrieas dubbelvouwen zodat beide helften precies op elkaar vallen 6. Een figuur zonder symmetrieas is asymmetrisch.

Ook letters kunnen symmetrisch zijn: de A heeft een verticale symmetrieas, de E een horizontale 11.

Congruent en gelijkvormig

• Twee figuren zijn congruent als ze na een verschuiving, draaiing en/of spiegeling precies op elkaar passen: zelfde vorm én zelfde grootte 5.
• Twee figuren zijn gelijkvormig als de ene een vergroting of verkleining is van de andere (eventueel ook verschoven, gedraaid of gespiegeld): zelfde vorm, maar mogelijk een andere grootte 5,12.

Congruente figuren zijn dus altijd gelijkvormig, maar gelijkvormige figuren zijn niet altijd congruent 5. Alle vierkanten zijn gelijkvormig, net als alle cirkels 12. Twee rechthoeken zijn dat niet altijd: een rechthoek van 2 op 3 en een van 2 op 6 hebben een andere vorm.

Met een spiegeling kun je congruentie vaststellen: een figuur en haar spiegelbeeld zijn congruent 5,1. Congruente figuren teken je bijvoorbeeld door de hoekpunten over te tekenen met dezelfde onderlinge afstanden op roosterpapier, of door te verschuiven, te draaien of te spiegelen.

Vergroten en verkleinen met een vaste verhouding

Bij een vergroting of verkleining met een vaste verhouding worden alle lengtes met hetzelfde getal vermenigvuldigd; de hoeken blijven gelijk 1,12. Die vaste verhouding is de schaal tussen origineel en beeld 1.

Meetkundige patronen

Een herhalend patroon bestaat uit een eenheid (een vast stukje) die telkens terugkomt, bijvoorbeeld driehoek, vierkant, driehoek, vierkant. Bij een veranderend patroon verandert iets volgens een regel, bijvoorbeeld een rij vierkanten die telkens een rij blokjes groter wordt. Leerlingen herkennen, beschrijven, maken, verderzetten en vullen zulke patronen aan 1. Veel patronen (zoals randen en tegelvloeren) ontstaan door een figuur telkens te verschuiven, te draaien of te spiegelen.

Samengevat

• Origineel en beeld. Verschuiving: zelfde richting en afstand; draaiing: rond een draaipunt over een hoek; spiegeling: om een spiegelas, loodrecht en op gelijke afstand.
• Verschuiving, draaiing en spiegeling leveren congruente figuren op; een spiegeling keert de oriëntatie om.
• Symmetrie: een spiegeling die de figuur op zichzelf afbeeldt. Vierkant 4 assen, rechthoek 2, ruit 2, gelijkzijdige driehoek 3, cirkel oneindig veel, parallellogram 0.
• Congruent: zelfde vorm en grootte. Gelijkvormig: zelfde vorm, eventueel andere grootte.
• Vergroten en verkleinen: alle lengtes × dezelfde factor, hoeken blijven gelijk. Bij factor 2 wordt de oppervlakte 4 keer zo groot.