Vierhoeken indelen

"Is een vierkant een rechthoek?" Wie die vraag aarzelend beantwoordt, heeft de indeling van de vierhoeken nog niet helemaal doorzien. In de wiskunde is het antwoord eenduidig ja, en dat volgt rechtstreeks uit de definities. Deze les bouwt de familie van vierhoeken op van algemeen naar bijzonder, met telkens de eigenschappen van zijden, hoeken en diagonalen. Dat is precies wat de minimumdoelen vragen: classificeren volgens toenemend aantal eigenschappen en daarbij definities formuleren en controleren 1.

Wat alle vierhoeken gemeen hebben

Een vierhoek heeft vier hoekpunten en vier zijden; de som van de vier hoeken is 360° 2. Elke vierhoek heeft twee diagonalen. Zijden die tegenover elkaar liggen heten overstaande zijden, hoeken die tegenover elkaar liggen overstaande hoeken.

De bijzondere vierhoeken

Trapezium

Een trapezium is een vierhoek met (minstens) één paar evenwijdige zijden 3. De evenwijdige zijden heten de grote basis en de kleine basis; de afstand ertussen is de hoogte.

• Een gelijkbenig trapezium heeft twee even lange niet-evenwijdige zijden; de hoeken aan eenzelfde basis zijn dan gelijk 3. Het heeft één symmetrieas 4.
• Een rechthoekig trapezium heeft een rechte hoek, en dan automatisch twee 3.

Parallellogram

Een parallellogram is een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden 5. Eigenschappen 5:

• overstaande zijden zijn even lang;
• overstaande hoeken zijn even groot, en twee aanliggende hoeken zijn samen 180°;
• de diagonalen delen elkaar middendoor;
• een parallellogram heeft geen symmetrieas (wel puntsymmetrie).

Omdat het twee paar evenwijdige zijden heeft, is elk parallellogram ook een trapezium 5.

Rechthoek

Een rechthoek is een vierhoek met vier rechte hoeken 6. Een rechthoek is een bijzonder parallellogram. Extra eigenschappen 6:

• de diagonalen zijn even lang en delen elkaar middendoor;
• een rechthoek die geen vierkant is, heeft twee symmetrieassen: de loodlijnen door het midden van de zijden.

Ruit

Een ruit is een vierhoek met vier even lange zijden 7. Elke ruit is een parallellogram. Extra eigenschappen 7:

• de diagonalen staan loodrecht op elkaar en delen elkaar middendoor;
• de diagonalen delen de hoeken middendoor;
• de diagonalen zijn de twee symmetrieassen.

Vierkant

Een vierkant is een vierhoek met vier gelijke zijden en vier rechte hoeken 8. Het is tegelijk een rechthoek (vier rechte hoeken) en een ruit (vier gelijke zijden). Je kunt het dus ook definiëren als "een ruit met een rechte hoek" of "een rechthoek met vier gelijke zijden" 8. De diagonalen zijn even lang, staan loodrecht op elkaar, delen elkaar middendoor en delen de hoeken middendoor. Een vierkant heeft vier symmetrieassen: twee door de middens van overstaande zijden en de twee diagonalen 8.

Vlieger

Een vlieger is een vierhoek met twee paar gelijke aanliggende zijden 9. De diagonalen staan loodrecht op elkaar en één diagonaal wordt door de andere middendoor gedeeld 9. Een vlieger is spiegelsymmetrisch 4. Een ruit is een bijzondere vlieger 7.

Overzichtstabel

De hiërarchie: van algemeen naar bijzonder

Hoe meer eigenschappen, hoe kleiner de verzameling 1:

• vierhoeken ⊃ trapezia ⊃ parallellogrammen;
• parallellogrammen ⊃ rechthoeken en parallellogrammen ⊃ ruiten;
• vierkanten = de rechthoeken die ook ruit zijn (de doorsnede van rechthoeken en ruiten);
• vliegers ⊃ ruiten ⊃ vierkanten.

Een ruit is dus tegelijk een parallellogram, een trapezium en een vlieger 7.

Classificeren volgens meerdere criteria

Je kunt vierhoeken ordenen in een tabel met twee criteria tegelijk, bijvoorbeeld zijden en hoeken 1:

Tekenen vanuit eigenschappen

Met kennis van de diagonalen kun je een vierhoek snel en juist tekenen 1.

• Ruit: teken twee lijnstukken die elkaar loodrecht en middendoor snijden (bv. 8 cm en 5 cm) en verbind de eindpunten.
• Rechthoek: teken twee even lange lijnstukken die elkaar middendoor snijden (onder een willekeurige hoek) en verbind de eindpunten.
• Vierkant: twee even lange lijnstukken die elkaar loodrecht en middendoor snijden.
• Parallellogram: twee lijnstukken die elkaar middendoor snijden.

Samengevat

• Trapezium: minstens één paar evenwijdige zijden. Parallellogram: twee paar; diagonalen delen elkaar middendoor.
• Rechthoek: vier rechte hoeken; diagonalen even lang; twee symmetrieassen (door de middens van de zijden).
• Ruit: vier gelijke zijden; diagonalen loodrecht en symmetrieassen.
• Vierkant: rechthoek én ruit; vier symmetrieassen. Vlieger: twee paar gelijke aanliggende zijden, loodrechte diagonalen.
• Hoe meer eigenschappen, hoe kleiner de verzameling: elk vierkant is een rechthoek, ruit, parallellogram, trapezium en vlieger.
• Een tegenvoorbeeld volstaat om een "alle"-uitspraak te weerleggen.