Basisbegrippen, driehoeken, veelhoeken en de cirkel

Meetkunde begint met een kleine set bouwstenen: punten, rechten en de manier waarop rechten ten opzichte van elkaar liggen. Daaruit bouw je driehoeken, vierhoeken en andere veelhoeken op. Voor de KennisToets moet je die figuren niet alleen herkennen, maar ook correct definiëren, indelen en tekenen, en het verschil kennen tussen een definitie en een eigenschap.

Punten en lijnen

• Een punt heeft geen afmetingen en wordt aangeduid met een hoofdletter: punt A.
• Een rechte is onbegrensd aan beide kanten en wordt aangeduid met een kleine letter: rechte a. In Vlaanderen zegt men eerder "rechte" dan "lijn" 1.
• Een halfrechte is aan één kant begrensd door een beginpunt en loopt aan de andere kant onbeperkt door 1. Notatie: [AB (beginpunt A, door B).
• Een lijnstuk is begrensd door twee eindpunten en heeft dus een lengte 2. Notatie: [AB].
• Een kromme is een lijn die niet recht is 1.

Ook de begrippen begrensd (zoals een lijnstuk) en onbegrensd (zoals een rechte) horen bij de basiswoordenschat 3. Een vlakke figuur noteer je met de hoekpunten: driehoek ABC (ook $\Delta ABC$), vierhoek ABCD.

Onderlinge ligging van rechten

Twee rechten in een vlak zijn 3:

• evenwijdig (∥) als ze overal even ver van elkaar liggen en elkaar dus nooit snijden 4;
• snijdend (∦) als ze precies één punt gemeen hebben;
• loodrecht (⊥) als ze elkaar snijden onder een hoek van 90° 5. Loodrechte rechten zijn dus een bijzonder geval van snijdende rechten.

Notaties: a ∥ b (a is evenwijdig met b), a ⊥ b (a staat loodrecht op b). Een loodlijn op een rechte is een rechte die er loodrecht op staat. Evenwijdige en loodrechte rechten teken je met de geodriehoek: de hulplijnen evenwijdig aan de lange zijde dienen voor evenwijdigen, de middenlijn voor loodlijnen.

Definitie of eigenschap?

• Een definitie is een uitspraak die bepaalt welke elementen tot een verzameling behoren en welke niet 3. Voorbeeld: "Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek met drie even lange zijden."
• Een eigenschap is een uitspraak die waar is voor alle elementen van een verzameling 3. Voorbeeld: "In een gelijkzijdige driehoek zijn alle hoeken 60°."

Een goede definitie is zo kort mogelijk en toch volledig. Je kunt definities formuleren, beoordelen en corrigeren: "een rechthoek is een vierhoek met vier gelijke hoeken" is juist, want vier gelijke hoeken met som 360° zijn elk 90°. "Een rechthoek is een figuur met rechte hoeken" is te ruim, want ook een rechthoekige driehoek heeft een rechte hoek.

Driehoeken

Een driehoek bestaat uit drie punten die niet op één rechte liggen, verbonden door drie lijnstukken: de zijden 6.

Indeling naar de hoeken 6:

• scherphoekige driehoek: drie scherpe hoeken;
• rechthoekige driehoek: één rechte hoek;
• stomphoekige driehoek: één stompe hoek.

Indeling naar de zijden 6:

• ongelijkbenige driehoek: drie verschillende zijden;
• gelijkbenige driehoek: (minstens) twee even lange zijden, de benen. De derde zijde is de basis, en de twee hoeken aan de basis (de basishoeken) zijn even groot;
• gelijkzijdige driehoek: drie even lange zijden en drie hoeken van 60° 7.

Elke gelijkzijdige driehoek is ook gelijkbenig 6. De twee indelingen kun je combineren: een rechthoekige gelijkbenige driehoek bestaat (hoeken 90°, 45°, 45°), een stomphoekige gelijkzijdige driehoek niet.

In een rechthoekige driehoek heten de twee zijden langs de rechte hoek de rechthoekszijden; de derde zijde, tegenover de rechte hoek, is de schuine zijde 8.

De hoogte van een driehoek is het lijnstuk uit een hoekpunt dat loodrecht staat op de overstaande zijde (of op het verlengde ervan). Elke driehoek heeft drie hoogtes. Bij een stomphoekige driehoek vallen er twee buiten de driehoek.

Veelhoeken en diagonalen

Een veelhoek is een gesloten vlakke figuur begrensd door lijnstukken: driehoek, vierhoek, vijfhoek, zeshoek ... Een regelmatige veelhoek heeft alle zijden even lang en alle hoeken even groot, zoals de gelijkzijdige driehoek, het vierkant en de regelmatige zeshoek 9. Is aan één van beide voorwaarden niet voldaan, dan is de veelhoek onregelmatig. Een ruit (gelijke zijden, ongelijke hoeken) en een rechthoek die geen vierkant is (gelijke hoeken, ongelijke zijden) zijn onregelmatig.

Een diagonaal is een lijnstuk tussen twee hoekpunten die niet naast elkaar liggen. Een vierhoek heeft altijd twee diagonalen 10; een driehoek heeft er geen, een vijfhoek vijf en een zeshoek negen.

De cirkel

Een cirkel bestaat uit alle punten die even ver van het middelpunt liggen; die afstand is de straal. De diameter is een lijnstuk door het middelpunt met de eindpunten op de cirkel en is twee keer zo lang als de straal 11.

Tekenen met de passer: zet de passeropening gelijk aan de straal (meet af op een lat), plaats de passerpunt in het middelpunt en draai één keer rond 3. Wil je een cirkel met diameter 8 cm, dan neem je een passeropening van 4 cm. Eenvoudiger hulpmiddelen zijn een cirkelsjabloon en ruitjespapier 3.

Tekenen vanuit eigenschappen

Met een passer teken je driehoeken met gegeven zijden, en je kunt uitleggen waarom de werkwijze klopt 3.

Je kunt ook een symmetrieas gebruiken: een gelijkbenige driehoek is spiegelsymmetrisch 12. Teken de basis, teken de loodlijn door het midden van de basis, kies daarop een top en verbind die met de eindpunten van de basis 3.

Samengevat

• Punt A, rechte a, halfrechte [AB, lijnstuk [AB], driehoek ABC. Een rechte is onbegrensd, een lijnstuk begrensd.
• Rechten zijn evenwijdig (∥), snijdend (∦) of loodrecht (⊥, snijdend onder 90°).
• Een definitie bepaalt wat tot een verzameling hoort; een eigenschap geldt voor alle elementen ervan.
• Driehoeken: scherphoekig, rechthoekig, stomphoekig; ongelijkbenig, gelijkbenig, gelijkzijdig. Elke gelijkzijdige driehoek is gelijkbenig.
• Een regelmatige veelhoek heeft gelijke zijden én gelijke hoeken. Een diagonaal verbindt twee niet-aangrenzende hoekpunten.
• Cirkel: middelpunt, straal, diameter = 2 × straal. Passeropening = straal.