Hoeken en hoekgrootte

Hoeken zitten in elke vlakke figuur, in de stand van de wijzers van een klok, in een dakhelling en in een cirkeldiagram. Hoekgrootte is een aparte grootheid met een eigen maateenheid, de graad. In deze les leer je hoeken benoemen, ordenen, meten en tekenen, en ontdek je twee regels die in heel wat meetkundevragen terugkomen.

Wat is een hoek?

Een hoek wordt gevormd door twee halfrechten met een gemeenschappelijk beginpunt. Dat beginpunt heet het hoekpunt, de twee halfrechten zijn de benen van de hoek 1. Je kunt een hoek ook zien als de grootte van een draaiing: hoeveel moet het ene been draaien om op het andere te komen te liggen 1?

Notatie. Een hoek met hoekpunt A noteer je als $\hat{A}$. Als er meer hoeken in hetzelfde punt samenkomen, gebruik je drie letters met het hoekpunt in het midden, bijvoorbeeld $\widehat{BAC}$ 2. De grootte van een hoek hangt alleen af van de opening tussen de benen, niet van de lengte van de getekende benen.

De graad

De maateenheid voor hoekgrootte in de lagere school is de graad (°). Een graad is de hoek die negentig keer in een rechte hoek past 2. Een rechte hoek is dus 90°, een gestrekte hoek 180° en een volle draai 360° 3,4.

Bij het gradenteken laat je geen spatie tussen getal en symbool: 35°, niet 35 ° 5. Dit is een uitzondering op de regel dat er een spatie tussen getal en eenheid komt; bij °C komt die spatie er wel.

Soorten hoeken

Scherp, recht en stomp volgen uit de vergelijking met een rechte hoek 1. In het vierde leerjaar sorteren leerlingen hoeken nog kwalitatief: ze leggen een hoek op een rechte hoek (bijvoorbeeld de hoek van een blad papier) en zien of hij kleiner, even groot of groter is. Ze vergelijken hoeken door ze op elkaar te leggen, ordenen ze en stellen ze samen 2.

De benen van een rechte hoek staan loodrecht op elkaar 4. In een tekening duid je een rechte hoek aan met een klein vierkantje in het hoekpunt.

Meten met de geodriehoek

Een geodriehoek is een combinatie van een lat en een gradenboog. Hij heeft de vorm van een gelijkbenige rechthoekige driehoek (hoeken van 45°, 45° en 90°); op de langste zijde staat een centimeterverdeling met het nulpunt in het midden, en dat nulpunt is ook het middelpunt van de gradenboog. Je kunt er hoeken tussen 0° en 180° mee meten en uitzetten tot op 1° nauwkeurig 6,2.

Een hoek meten, stap voor stap:

1. Leg het nulpunt van de geodriehoek precies op het hoekpunt.
2. Leg de lange zijde (de nullijn) langs één been van de hoek.
3. Volg de schaalverdeling die op dat been bij 0° begint, tot aan het andere been.
4. Lees af en controleer met een schatting: is de hoek scherp of stomp?

Een hoek tekenen van bijvoorbeeld 65°: teken één been, leg het nulpunt op het hoekpunt en de nullijn op dat been, zet een stip bij 65° (op de schaal die bij het been met 0 begint) en verbind die stip met het hoekpunt.

Hoeken bij snijdende rechten

Als twee rechten elkaar snijden, ontstaan vier hoeken. De overstaande hoeken (tegenover elkaar) zijn even groot. Twee hoeken die naast elkaar liggen, zijn samen 180° 1.

Hoekensom in driehoek en vierhoek

De som van de drie hoeken van een driehoek is altijd 180° 7,1. Je ziet dat door de drie hoeken van een papieren driehoek af te scheuren en tegen elkaar te leggen: samen vormen ze een gestrekte hoek.

De som van de vier hoeken van een vierhoek is 360° 8. Een diagonaal verdeelt een vierhoek in twee driehoeken, dus $2 \times 180° = 360°$.

Hieruit volgen nuttige inzichten:

• Een driehoek heeft hoogstens één rechte of één stompe hoek, want twee zulke hoeken zijn samen al 180° of meer.
• In een rechthoekige driehoek zijn de twee andere hoeken samen 90°, dus beide scherp.

Samengevat

• Een hoek bestaat uit een hoekpunt en twee benen; notatie $\hat{A}$ of $\widehat{BAC}$.
• 1° is de hoek die negentig keer in een rechte hoek past. Recht 90°, gestrekt 180°, vol 360°. Geen spatie voor °.
• Scherp: kleiner dan 90°; recht: 90°; stomp: tussen 90° en 180°.
• Meet met de geodriehoek: nulpunt op het hoekpunt, nullijn langs een been, schaal die bij 0° begint, en controleer met een schatting.
• Overstaande hoeken zijn gelijk; naast elkaar liggende hoeken bij snijdende rechten zijn samen 180°.
• Hoekensom driehoek 180°, vierhoek 360°.