Samengestelde grootheden, schaal en snelheid

Een landkaart, een bouwplan en een modelauto tonen de werkelijkheid in het klein; een foto onder een microscoop toont ze in het groot. In al die gevallen zegt de schaal hoe beeld en werkelijkheid zich verhouden. Snelheid vertelt hoeveel afstand je per tijdseenheid aflegt. Beide zijn samengestelde grootheden: ze ontstaan uit een verhouding tussen twee andere grootheden 1. Met een verhoudingstabel los je bijna elk vraagstuk erover op.

De verhoudingstabel

Twee grootheden zijn recht evenredig als ze gelijk op gaan: wordt de ene 2, 3 of 10 keer zo groot, dan ook de andere. Hun verhouding blijft constant 2. In een verhoudingstabel mag je beide rijen met hetzelfde getal vermenigvuldigen of delen, en kolommen optellen 1.

Schaal

De schaal is de verhouding tussen de getekende afstand (op kaart, plan of model) en de werkelijke afstand, uitgedrukt in dezelfde eenheid 3,1.

$\text{schaal} = \text{getekende afstand} : \text{werkelijke afstand}$

Breukschaal en lijnschaal

• Een breukschaal of getalschaal schrijft de verhouding als getallen: 1 : 25 000. Dat betekent dat 1 cm op de kaart overeenkomt met 25 000 cm = 250 m in werkelijkheid 4.
• Een lijnschaal is een getekend lijnstuk met de werkelijke afstand erbij, bijvoorbeeld een balkje van 2 cm met "1 km". Voordeel: als je de kaart vergroot of verkleint, groeit de lijnschaal mee en blijft ze juist.

Verkleining en vergroting

• schaal 1 : 1 is ware grootte;
• schaal 1 : X (X groter dan 1) is een verkleining, zoals een kaart;
• schaal X : 1 is een vergroting, zoals een tekening van een insect op schaal 4 : 1 4.

Een schaal van 1 : 25 000 is een grotere schaal dan 1 : 50 000, omdat 1/25 000 groter is dan 1/50 000. Op een kaart met grote schaal zie je meer details van een kleiner gebied 3.

Bij een vergroting of verkleining met een vaste verhouding worden alle lengtes met dezelfde factor vermenigvuldigd; de vorm en de hoeken blijven gelijk 1. Dat is het verband tussen schaal en gelijkvormige figuren (zie de les over transformaties).

Drie soorten schaalvragen

Zijn twee van de drie grootheden gegeven, dan bepaal je de derde 1.

Snelheid

Snelheid is de afgelegde weg per tijdseenheid 5. Ze is de verhouding tussen afstand en tijd 1:

$\text{snelheid} = \frac{\text{afstand}}{\text{tijd}} \qquad \text{afstand} = \text{snelheid} \times \text{tijd} \qquad \text{tijd} = \frac{\text{afstand}}{\text{snelheid}}$

Eenheden: km/h en m/s

• Kilometer per uur (km/h, ook km/u of km/uur): bij 1 km/h leg je in één uur 1 km af 6.
• Meter per seconde (m/s) is de SI-eenheid van snelheid 7.
• Omrekenen: 1 m/s = 3,6 km/h. Van m/s naar km/h vermenigvuldig je met 3,6; van km/h naar m/s deel je door 3,6 7.

Waarom 3,6? In één uur zitten 3 600 seconden. Wie 1 m per seconde aflegt, legt in een uur 3 600 m = 3,6 km af.

Gemiddelde snelheid

Een auto rijdt zelden overal even snel. De gemiddelde snelheid is de totale afstand gedeeld door de totale tijd, alsof je de hele tijd even snel zou rijden 1.

Snelheid in een grafiek

In een tijd-afstandsgrafiek staat de tijd op de horizontale as en de afgelegde afstand op de verticale as. Hoe steiler de lijn, hoe groter de snelheid; een horizontaal stuk betekent stilstaan 1. Meer over grafieken met twee grootheden vind je in de les over statistiek.

Indirect meten met samengestelde grootheden

Ken je je wandelsnelheid, dan kun je uit een wandeltijd de afstand afleiden: wie ongeveer 5 km per uur wandelt, heeft na een uur stappen ongeveer 5 km afgelegd 1. Zo wordt een samengestelde grootheid een hulpmiddel om indirect te meten.

Samengevat

• Samengestelde grootheden zoals schaal en snelheid zijn verhoudingen; een verhoudingstabel helpt bij elke berekening.
• Schaal = getekende afstand : werkelijke afstand, in dezelfde eenheid. 1 : 25 000 betekent 1 cm is 250 m.
• Breukschaal (1 : 50 000) en lijnschaal (getekend balkje). 1 : X is een verkleining, X : 1 een vergroting.
• Snelheid = afstand : tijd; afstand = snelheid × tijd; tijd = afstand : snelheid.
• 1 m/s = 3,6 km/h. Reken minuten om naar delen van een uur (45 min = 0,75 h).
• Gemiddelde snelheid = totale afstand : totale tijd.